به دام اندازی یون در دام پاول۹۳- قسمت ۱۱

(۲-۵۸)
اگر رابطه a=jb را در معادله (۲-۵۶) قرار دهیم. جواب به این صورت خواهد بود:
(۲-۵۹)
میتوان دید که در این حالت مقادیر x و v با افزایش t نوسان میکنند. این حالت در کاربردهای فیزیکی منجر به جوابهای پایدار میشود. مرز جوابهای پایدار و ناپایدار با رابطه زیر مشخص میشوند:
(۲-۶۰)
فقط در این حالت ماتریس [M] دو ریشه نهفته مساوی دارد. اگر ۲(A+D) = باشد دو ریشه و شکل با شماره ۱۲ جدول (۲-۱) مشخص میشود و اگر ۲-(A+D) = باشد دو ریشه [M] با مشخص میشود و از رابطه ۱۳ جدول (۲-۱) بهدست میآید. عموماً شرط (۲-۶۰) منجر به ناپایداری در کاربردهای فیزیکی میشود.
در نهایت پایداری جواب را میتوان به صورت زیر جمعبندی کرد.
ناپایدار
(۲-۶۱) پایدار
ناپایدار
اینها همان نتایجی است که با استفاده از قضیه فلوکت در معادله هیل به آن میرسیم. تجزیه و تحلیل حاضر ارتباط بین طبیعت ریشههای نهفته [M] و معیار پایداری را مشخص میکند.

۲-۳-۴ حل معادله هیل در حالتی که F(t) مجموعی از توابع پلهای باشد:

روش ماتریسی برای حل معادله هیل در حالتی که تابع F(t) را میتوان به صورت جمعی از توابع پلهای در بازه نمایش داد (همانطور که در شکل (۲-۴) نمایش داده شده است)، روش بسیار مفیدی است.
فرض کنید که تابع F(t) از m پلهای تشکیل شده است که هر کدام طول و ارتفاعهای دارند که:
(۲-۶۲)
با استفاده از نمادگذاری زیر
(۲-۶۳)
خواهیم داشت:
(۲-۶۴)
حال با استفاده از تعریف زیر:
(۲-۶۵)
و با استدلالی مشابه بخش قبل میتوان دید که در انتهای بازه جواب حاصل به صورت زیر خواهد بود:
(۲-۶۶)
جواب در انتهای n بازه یعنی وقتی که t= nT بدین صورت خواهد بود:
(۲-۶۷)
پایداری جواب در (۲-۶۱) تعیین میشود:
در صورتیکه تابع داده شده F(t) را در کل بازه تعریف شده بصورت جمع توابع پلهای بنویسیم این روش را میتوان در مطالعه پایداری و بدست آوردن جواب تقریبی معادلات از نوع هیل بکار برد. برای توضیح روش کلی، معادله هیل با شکل زیر را در نظر بگیرید:
(۲-۶۸)
که تابع F(t) در بازه به شکل زیر تعریف میشود:
(۲-۶۹) که تابع دورهای با دوره ۱ T= خواهدبود.
برای نمایش تابع F(t) بر حسب توابع پلهای، بازه ۱ T=را به ۱۰ قسمت مساوی با طول تقسیم میکنیم. مقدار میانگین F(t) در هر یک از این قسمتها را ارتفاع هر پله میگیریم. بنابراین در بازه k ام تابع پلهای نمایش داده شده ارتفاع hk را خواهد داشت:
(۲-۷۰)
شکل F(t) و نمایش آن به صورت تابع پلهای در شکل (۲-۵) آمده است.
شکل ۲-۵
جواب دقیق (۲-۶۸) در بازه با شرایط اولیه و به این صورت است:
(۲-۷۱)
مقادیر و عناصر ماتریس در جدول (۲-۲) آمده است. ماتریسهای و مقادیر xk و vk جواب در انتهای k امین زیربازه با شرایط اولیه و در جدول (۲-۳) آمده است. ماتریس [M] از ضرب ماتریسهای زنجیرهای به دست میآید:
(۲-۷۲)

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  fumi.ir  مراجعه نمایید.

Rk