شکل (۱-۱۷) طراحواره ای از یک دام چهار قطبی هذلولی را نشان می دهد. الکترودهای کلاهک به ولتاژ و الکترود حلقه به زمین متصل شده است.
شکل ۱-۱۷

فصل دوم

روش حل معادلات حرکت در دستگاههای چهارقطبی هذلولی

مقدمه

در روزهای اولیه، پیشرفت دستگاههای چهارقطبی، محاسبات مربوط به آن توسط تئوری تحلیل انجام می شد و این تنها راه ممکن بود. که این کار اغلب پرزحمت و سنگین بود و باید سریهای طولانی از جملات جمع زده میشدند. از وقتی که کامپیوترهای دیجیتال به طور عمومی قابل استفاده شدند انتگرالگیری عددی از معادلات حرکت یون امکانپذیر شد و ترجیح داده میشد. بعداً در برخی کاربردها، کاربرد روش ماتریسی که بر پایه دینامیک فضای فاز قرار دارد جای انتگرالگیری عددی نقطه به نقطه را گرفت، زیرا متضمن محاسبات سریعتر و ارزانتر میبود. ولی باز هم تئوری تحلیلی چند روش که به آن میپردازیم. در به کارگیری میدان چهارقطبی و درک مطلب روشهای فیزیکی به ما کمک میکند.
مسائل مقدار اولیه:
در این نوع مسائل معادله دیفرانسیل با شرط اولیه معین میشوند. تعیین مسیر یون با استفاده از انتگرالگیری از معادله متییو یک مثال مناسب از این دسته است.
۲) مسائل مقدار مرزی:
در این دسته از مسائل راه حل برای شرایط داده شده در داخل مرزهای یک منطقه مورد نیاز است جریان گرمایی در یک میله و تعیین توزیع پتانسیل در مناطق در هم رفته، مثالهایی از این نوع هستند.
معادلهی به فرم حالت خاصی از معادله هیل (Hill) است که معادله متییو نامیده میشود. به ازای مقادیری که پارامترهای a و q انتخاب کنند این معادله ممکن است جوابهای پایدار داشته باشد که در این صورت یون میتواند درون دام گرفتار شود و یا به دام نیفتد.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  jemo.ir  مراجعه نمایید.

۲-۱ معادله هیل:

تعداد قابل توجهی از مسائل فیزیکی منجر به معادلهی دیفرانسیلی به شکل عمومی زیر میشود:
(۲-۱) ۰
F(t) یک تابع متناوب با دوره تناوب T است، که آن را میتوان به وسیله فوریه بسط داد. این معادله به عنوان معادله دیفرانسیل هیل شناخته میشود. در طیفسنجهای چهارقطبی با هر شکل موج اعمال شده به شرط آن که متناوب باشد معادله حرکت، معادله هیل است.
شکل عمومی معادله هیل را میتوان به صورت زیر نوشت:
(۲-۲)
برای حالت این معادله با قرار گرفتن به معادله متییو تبدیل میشود. طبق قضیه فلوکت، یکی از جوابهای معادله (۲-۱) به صورت زیر است[۸]:
(۲-۳)
معادله حرکت تحت تبدیل ناورداست و جواب مستقل دوم با این جایگذاری در معادله (۲-۲) به دست میآید.
با جایگذاری معادله (۲-۲) در (۲-۱) و حذف فاکتور به یک سری نامتناهی از معادلات همزمان میرسیم:
(۲-۴)
با نوشتن بر حسب و و با مساوی قرار دادن ضرایب هر یک از جملات با صفر به فرمول بازگشتی زیر بین مقدار میرسیم که اگر باشد داریم:
(۲-۵)
n روی تمام مقادیر صحیح گرفته شده است بنابراین مینویسیم که مقادیر ثابت به مقادیر بستگی دارد. [یا به (a,q) که حرکت موجی سینوسی دارند)] و به شرط اولیه بستگی ندارد. بعداً برای تعیین مقادیر توضیح میدهیم که چگونه مشخصه نمایی را می توان پیدا کرد.
حل کامل معادله (۲-۱) از دو جواب مستقل خطی تشکیل شده است یعنی:
(۲-۶)
که و ثابت های انتگرالگیری هستند و به شرط اولیه بستگی دارند.
همانطوری که قبلاً بیان شد، فقط به مقادیر a و q وابسته است. شرایط پایداری را میتوان در نمودار a-q یا نمودار پایداری نمایش داد. به ازای جواب پایدار است که β حقیقی و غیرطبیعی است. مرزهای بین نواحی پایدار و ناپایدار با مشخص میشود که m یک عدد صحیح است. این جوابها توابع مرتبه صحیح نامیده میشوند و مرزها، منحنیهای مشخصه یا مقادیر مشخصه نامیده میشوند. مثلاً در نمودار پایداری شکل (۲-۱) برای یک دستگاه که به صورت سینوسی کار میکند، برای ناحیه اول پایداری، است و برای ناحیه دوم پایداری، است.
شکل ۲-۱: نمودار پایداری a و q برای معادله متییو با در نظر گرفتن معادله در یک جهت
اگر معادله (۲-۵) بر جمله مرکزی تقسیم شود، آنگاه دترمینان ضرایب همگرا میشود و چون با رابطه زیر داریم:
(۲-۷)
برای این که مجموعه معادلات سازگار باشند، این دترمینان باید صفر باشد، میتوان نشان داد که این معادل است با[۹]:
(۲-۸)
(۲-۹)
تقریبهای خوبی برای با در نظر گرفتن دترمینان کوتاه شده به عنوان دترمینانهای ۳×۲، ۵×۵، ۴×۷ مرکزی میتوان به دست آورد که به وسیله خطوط مقطع در معادله (۲-۷) نشان داده شده است. برای جداکننده جرم در حالت سینوسی، حتی با یک دترمینان ۵×۵ به تقریبهای خوبی میرسیم که این مطلب بیان میکند هماهنگهای مرتبه بالاتر در شکل موج که در اطراف نقطه قطع شدگی وارد میشوند اثر کمی روی ماهیت حرکت یون دارد.
با استفاده از معادله (۲-۹) میتوان شرایط پایداری را برای به صورت زیر به دست آورد:
(۲-۱۰)
که علامت تساوی، منحنیهای مشخصه یا مرزها را در فضای چند بعدی میدهد.

۲-۲ معادله متییو:

برای دستگاههایی که به صورت سینوسی کار میکنند معادله متییو به کار میرود و معادلات ساده میشوند. به علت برقراری روابط ، برای محاسبه ضرایب بسط در نواحی پایدار، مقادیر را در معادله (۲-۵) قرار میدهیم که چون ، داریم]۶و۷ [ :
(۲-۱۱)

Tags: